ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/ალბათობა
თემა 11 / 1275 წუთი

კომბინატორიკა, სტატისტიკა და ალბათობა

დათვლის წესები, გადანაცვლება, წყობა და ჯუფთება, ნიუტონის ბინომი, მონაცემთა მაჩვენებლები და ხდომილობის ალბათობა.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 154-175; ამოცანები: გვ. 367-389

რას ისწავლი

  • სწორი კომბინატორული მოდელის არჩევა
  • კლასიკური ალბათობის გამოთვლა
  • საშუალოს, მედიანისა და დიაპაზონის პოვნა
თეორია

მთავარი წესები

1

დათვლის ძირითადი წესები

თუ არჩევანი თანმიმდევრულ ეტაპებად სრულდება, ვარიანტების რაოდენობები მრავლდება. თუ ორი ურთიერთგამომრიცხავი შემთხვევიდან ერთ-ერთს ვირჩევთ, რაოდენობები იკრიბება. ობიექტების რიგს მნიშვნელობა აქვს თუ არა, ეს წყობასა და ჯუფთებას არჩევს.

Pₙ=n!Aₙᵏ=n!/(n-k)!Cₙᵏ=n!/(k!(n-k)!)
  • გადანაცვლება: n! ყველა n ობიექტის დალაგებაა.
  • წყობაში რიგს მნიშვნელობა აქვს.
  • ჯუფთებაში რიგს მნიშვნელობა არ აქვს.
2

ალბათობა

კლასიკურ თანაბარშესაძლებელ მოდელში P(A)=m/n, სადაც n ყველა ელემენტარული შედეგის, m კი A-სთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობაა. დამატებითი ხდომილობის ალბათობა 1-P(A)-ა.

P(A)=m/nP(not A)=1-P(A)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
  • 0≤P(A)≤1.
  • შეუძლებელი ხდომილობის ალბათობა 0, აუცილებელის 1-ია.
  • დამოუკიდებელი ხდომილობების ერთდროული მოხდენის ალბათობები მრავლდება.
3

სტატისტიკური მაჩვენებლები

საშუალო არითმეტიკული არის მნიშვნელობათა ჯამი გაყოფილი რაოდენობაზე. მედიანა დალაგებული მონაცემების შუა მნიშვნელობაა, მოდა ყველაზე ხშირად განმეორებული მნიშვნელობა, დიაპაზონი კი უდიდესისა და უმცირესის სხვაობა.

  • მედიანისთვის მონაცემები ჯერ დაალაგე.
  • ლუწი რაოდენობისას მედიანა ორი შუა წევრის საშუალოა.
  • საშუალო განსაკუთრებით მგრძნობიარეა ძალიან დიდი ან მცირე გამონაკლისების მიმართ.
ამოხსნილი მაგალითი

ყუთში 5 წითელი, 3 ლურჯი და 2 მწვანე ბურთია. შემთხვევით იღებენ ერთს. რა არის ალბათობა, რომ ბურთი ლურჯი არ იქნება?

  1. სულ არის 5+3+2=10 ბურთი.
  2. ლურჯი არ არის 5+2=7 ბურთი.
  3. ალბათობაა ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა გაყოფილი ყველა შედეგის რაოდენობაზე.
პასუხი7/10
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

11.1საბაზისო

რამდენი სამნიშნა რიცხვი შედგება 1,2,3 ციფრებისგან, თუ გამეორება არ შეიძლება?

მინიშნება
სამივე ციფრი გადაანაცვლე.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 6

3!=3·2·1=6.

11.2საბაზისო

8 მოსწავლიდან რამდენი გზით ავირჩევთ 2 წარმომადგენელს?

მინიშნება
რიგს მნიშვნელობა არ აქვს.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 28

C₈²=8·7/2=28.

11.3საბაზისო

სამართლიან კამათელს აგორებენ ერთხელ. იპოვე ლუწი რიცხვის მოსვლის ალბათობა.

მინიშნება
ლუწი შედეგებია 2,4,6.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 1/2

6 თანაბარშესაძლებელი შედეგიდან 3 ხელსაყრელია: 3/6=1/2.

11.4საშუალო

ორ მონეტას აგდებენ. იპოვე ზუსტად ერთი გერბის მოსვლის ალბათობა.

მინიშნება
ჩამოწერე ოთხი თანაბარშესაძლებელი შედეგი.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 1/2

შედეგებია GG, GR, RG, RR. ზუსტად ერთი გერბი ორ შემთხვევაშია: 2/4=1/2.

11.5საბაზისო

იპოვე მონაცემების 3, 5, 5, 7, 10 საშუალო და მედიანა.

მინიშნება
ჯამი გაყავი 5-ზე; შუა წევრი მესამეა.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: საშუალო 6; მედიანა 5.

(3+5+5+7+10)/5=30/5=6; დალაგებულ სიაში შუა წევრი 5-ია.

11.6რთული

კლასში 6 გოგო და 4 ბიჭია. შემთხვევით ირჩევენ 3 მოსწავლეს. რა არის ალბათობა, რომ სამივე გოგოა?

მინიშნება
ხელსაყრელია C₆³, ყველა არჩევანია C₁₀³.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 1/6

C₆³/C₁₀³=20/120=1/6.