სიმრავლეები და ნამდვილი რიცხვები
სიმრავლეთა აღნიშვნები, რიცხვთა კლასები, შუალედები, მოდული და რიცხვით წრფეზე მუშაობა.
რას ისწავლი
- რიცხვების კლასიფიკაცია N, Z, Q და R სიმრავლეებში
- სიმრავლეთა გაერთიანების, თანაკვეთისა და სხვაობის გამოთვლა
- შუალედებისა და მოდულის პირობის სწორად ჩაწერა
მთავარი წესები
სიმრავლე და ოპერაციები
სიმრავლე არის მკაფიოდ განსაზღვრული ობიექტების ერთობლიობა. თუ x ეკუთვნის A-ს, ვწერთ x ∈ A; თუ არ ეკუთვნის, x ∉ A. ორი სიმრავლე ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა მათ ზუსტად ერთი და იგივე ელემენტები აქვთ.
- A ∪ B შეიცავს ელემენტებს, რომლებიც A-ში ან B-ში მაინც არის.
- A ∩ B შეიცავს მხოლოდ ორივე სიმრავლის საერთო ელემენტებს.
- A \ B შეიცავს A-ს იმ ელემენტებს, რომლებიც B-ში არ შედის.
- A ⊂ B ნიშნავს, რომ A-ს ყოველი ელემენტი B-საც ეკუთვნის.
რიცხვთა სიმრავლეები
ნატურალური რიცხვები N თვლისთვის გამოიყენება; მთელი რიცხვები Z მათთან ერთად უარყოფით რიცხვებსა და ნულს მოიცავს; რაციონალური რიცხვი Q შეიძლება ჩაიწეროს m/n სახით, სადაც m და n მთელი რიცხვებია და n ≠ 0. ნამდვილი რიცხვები R აერთიანებს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს.
- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
- სასრული ან პერიოდული ათწილადი რაციონალურია.
- უსასრულო არაპერიოდული ათწილადი ირაციონალურია.
შუალედები და მოდული
ღია შუალედში ბოლოები არ შედის, დახურულში კი შედის. მოდული |x| არის x რიცხვის მანძილი ნულიდან, ამიტომ ყოველთვის არაუარყოფითია. |x-a| აღწერს x-ის მანძილს a წერტილიდან.
|ab| = |a||b||a/b| = |a|/|b|, b ≠ 0|a+b| ≤ |a|+|b|- |x| = x, როცა x ≥ 0; |x| = -x, როცა x < 0.
- |x-a| < r ნიშნავს a-r < x < a+r.
- |x-a| > r ნიშნავს x < a-r ან x > a+r.
ამოხსენი |2x - 3| ≤ 5 და პასუხი ჩაწერე შუალედის სახით.
- |u| ≤ 5 ეკვივალენტურია -5 ≤ u ≤ 5 პირობისა.
- ამიტომ -5 ≤ 2x - 3 ≤ 5.
- სამივე ნაწილს დავუმატოთ 3: -2 ≤ 2x ≤ 8.
- გავყოთ 2-ზე: -1 ≤ x ≤ 4.
სავარჯიშოები
ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.
დაალაგე ზრდადობით: -√5, -2, 0, 7/3.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
რადგან √5 ≈ 2.236, მივიღებთ -√5 ≈ -2.236. დანარჩენი შედარება უშუალოა.
იპოვე A ∩ B და A ∪ B, თუ A = [-2; 4), B = (1; 6].
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
ორივე შუალედში ერთდროულად მყოფი რიცხვებია 1-სა და 4-ს შორის. მთლიანად დაფარული მონაკვეთი კი -2-დან 6-მდეა.
ამოხსენი |x + 2| < 4.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
-4 < x+2 < 4, ამიტომ -6 < x < 2.
ამოხსენი |3x - 1| > 8.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
3x-1 > 8 იძლევა x > 3-ს; 3x-1 < -8 იძლევა x < -7/3-ს.
იპოვე მთელი რიცხვების რაოდენობა [-3.5; 4.2) შუალედში.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
ეს რიცხვებია -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. სულ 8.
თუ |x-1| + |x-4| = 3, აღწერე ყველა x.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
[1;4] მონაკვეთის ნებისმიერ წერტილზე მანძილების ჯამი (x-1)+(4-x)=3. მონაკვეთის გარეთ ჯამი 3-ზე მეტია.