ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/მრავალწევრები
თემა 4 / 1260 წუთი

მრავალწევრები და რაციონალური გამოსახულებები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები, მამრავლებად დაშლა, ალგებრული წილადების შეკვეცა და გარდაქმნა.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 43-58; ამოცანები: გვ. 184-216

რას ისწავლი

  • ფორმულების ამოცნობა ორივე მიმართულებით
  • მრავალწევრის რამდენიმე მეთოდით დაშლა
  • რაციონალური გამოსახულებების გარდაქმნა დასაშვები პირობებით
თეორია

მთავარი წესები

1

ძირითადი იგივეობები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ტოლობებია, რომლებიც ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის მართებულია. მათი გამოყენება შეიძლება როგორც ფრჩხილების გასახსნელად, ისე მრავალწევრის მამრავლებად დასაშლელად.

(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²a²-b²=(a-b)(a+b)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
  • სრული კვადრატისას შუა წევრი 2ab-ია.
  • კვადრატთა სხვაობა ორი შეუღლებული გამოსახულების ნამრავლია.
  • კუბთა ჯამსა და სხვაობას კვადრატული თანამამრავლი აქვს.
2

მამრავლებად დაშლის სტრატეგია

ჯერ გამოიტანე უდიდესი საერთო მამრავლი. შემდეგ შეამოწმე ფორმულა, დაჯგუფება ან კვადრატული სამწევრის ფესვები. საბოლოოდ გადაამოწმე გამრავლებით.

  • საერთო მამრავლი ყოველთვის პირველ ნაბიჯად შეამოწმე.
  • x²+px+q-სთვის მოძებნე რიცხვები, რომელთა ჯამი p, ნამრავლი q-ა.
  • დაშლა დასრულებულია, როცა მიღებული მამრავლები აღარ იშლება არჩეულ რიცხვთა სიმრავლეში.
3

ალგებრული წილადები

ალგებრული წილადი იკვეცება მხოლოდ მამრავლებზე და არა ჯამის ცალკეულ წევრებზე. გარდაქმნისას საწყისი გამოსახულების აკრძალული მნიშვნელობები უნდა შევინარჩუნოთ, თუნდაც შესაბამისი მამრავლი შეკვეცის შემდეგ გაქრეს.

  • ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი დაშალე მამრავლებად.
  • შეკვეცამდე დაწერე, რომელი მნიშვნელობები არ შეიძლება.
  • ჯამისას გამოიყენე უმცირესი საერთო მნიშვნელი.
ამოხსნილი მაგალითი

გაამარტივე (x²-9)/(x²-3x), მიუთითე დასაშვები მნიშვნელობები.

  1. x²-9=(x-3)(x+3).
  2. x²-3x=x(x-3), ამიტომ x≠0 და x≠3.
  3. შევკვეცოთ x-3 მამრავლი.
პასუხი(x+3)/x, სადაც x≠0,3
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

4.1საბაზისო

გაშალე (2x-3)².

მინიშნება
გამოიყენე (a-b)².
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 4x²-12x+9

(2x)²-2·2x·3+3²=4x²-12x+9.

4.2საბაზისო

დაშალე მამრავლებად 9a²-25b².

მინიშნება
ეს კვადრატთა სხვაობაა.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (3a-5b)(3a+5b)

(3a)²-(5b)²=(3a-5b)(3a+5b).

4.3საბაზისო

დაშალე x²-7x+12.

მინიშნება
რომელი ორი რიცხვის ჯამია -7 და ნამრავლი 12?
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (x-3)(x-4)

-3 და -4 აკმაყოფილებს ორივე პირობას.

4.4საშუალო

გაამარტივე (a²-4a+4)/(a²-4), a≠±2.

მინიშნება
ორივე ნაწილი დაშალე.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (a-2)/(a+2)

მრიცხველი (a-2)²-ია, მნიშვნელი (a-2)(a+2). ერთი a-2 იკვეცება.

4.5საშუალო

გამოთვალე 1/(x-1) - 1/(x+1).

მინიშნება
საერთო მნიშვნელია (x-1)(x+1).
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 2/(x²-1), x≠±1

[(x+1)-(x-1)]/(x²-1)=2/(x²-1).

4.6რთული

დაშალე x³+3x²-4x-12 დაჯგუფებით.

მინიშნება
დააჯგუფე პირველი ორი და ბოლო ორი წევრი.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (x+3)(x-2)(x+2)

x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4)=(x+3)(x-2)(x+2).