ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/უტოლობები
თემა 7 / 1270 წუთი

უტოლობები და ინტერვალთა მეთოდი

წრფივი და კვადრატული უტოლობები, სისტემები, რაციონალური უტოლობები, მოდული და ინტერვალთა მეთოდი.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 96-108; ამოცანები: გვ. 237-252

რას ისწავლი

  • უტოლობის ნიშნის სწორად მართვა
  • ნიშანცხრილის აგება
  • სისტემისა და ერთობლიობის განსხვავება
თეორია

მთავარი წესები

1

უტოლობის გარდაქმნა

უტოლობის ორივე მხარეს ერთი და იმავე რიცხვის დამატება ნიშანს არ ცვლის. დადებით რიცხვზე გამრავლება ან გაყოფაც ნიშანს ინარჩუნებს, უარყოფითზე კი ნიშანი შებრუნდება.

  • მკაცრ უტოლობაში საზღვარი პასუხში არ შედის.
  • ≤ ან ≥ შემთხვევაში ნული შეიძლება შევიდეს, თუ გამოსახულება განსაზღვრულია.
  • სისტემაში პასუხების თანაკვეთა გვჭირდება.
2

კვადრატული უტოლობა

ax²+bx+c-ის ნიშანი შეიძლება პარაბოლით ან მამრავლებად დაშლით განვსაზღვროთ. ორი მარტივი ფესვისას, თუ a>0, გამოსახულება ფესვებს გარეთ დადებითია და მათ შორის უარყოფითი; a<0-ზე პირიქით.

  • ჯერ ყველა წევრი ერთ მხარეს გადაიტანე.
  • იპოვე ნულები და მონიშნე რიცხვით წრფეზე.
  • ფესვის ჯერადობა გავლენას ახდენს ნიშნის შეცვლაზე.
3

ინტერვალთა მეთოდი

რაციონალური ან ნამრავლის ფორმის უტოლობაში ვპოულობთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ნულებს, ვყოფთ წრფეს შუალედებად და თითოეულზე ვადგენთ ნიშანს. მნიშვნელის ნულები პასუხში არასოდეს შედის.

  • კრიტიკული წერტილები ზრდადობით დაალაგე.
  • კენტი ჯერადობის ნულზე ნიშანი იცვლება, ლუწზე არა.
  • პასუხში შეარჩიე მოთხოვნილი ნიშნის შუალედები.
ამოხსნილი მაგალითი

ამოხსენი (x-2)/(x+1) ≥ 0.

  1. კრიტიკული წერტილებია x=-1 (აკრძალული) და x=2 (ნული).
  2. შუალედებია (-∞,-1), (-1,2), (2,+∞).
  3. ნიშნები შესაბამისად დადებითი, უარყოფითი, დადებითია.
  4. ≥0-ის გამო x=2 შედის, x=-1 არ შედის.
პასუხი(-∞;-1) ∪ [2;+∞)
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

7.1საბაზისო

ამოხსენი -3x+5>14.

მინიშნება
უარყოფით რიცხვზე გაყოფისას ნიშანი შებრუნდება.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x<-3

-3x>9, ამიტომ x<-3.

7.2საბაზისო

ამოხსენი x²-9≤0.

მინიშნება
(x-3)(x+3) გამოიყენე.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: [-3;3]

ზემოთ მიმართული პარაბოლა ფესვებს შორის არადადებითია.

7.3საშუალო

ამოხსენი x²-5x+6>0.

მინიშნება
ფესვებია 2 და 3.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (-∞;2) ∪ (3;+∞)

(x-2)(x-3)>0 ფესვებს გარეთ სრულდება.

7.4საბაზისო

ამოხსენი სისტემა: x≥-1 და x<4.

მინიშნება
აიღე ორი პასუხის თანაკვეთა.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: [-1;4)

ორივე პირობას ერთდროულად აკმაყოფილებს -1-დან 4-მდე რიცხვები.

7.5საშუალო

ამოხსენი (x+3)/(x-1)<0.

მინიშნება
კრიტიკული წერტილებია -3 და 1.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (-3;1)

ფარდობა უარყოფითია მაშინ, როცა მრიცხველსა და მნიშვნელს სხვადასხვა ნიშანი აქვს: -3<x<1.

7.6რთული

ამოხსენი |2x-1|≤x+2.

მინიშნება
ჯერ მარჯვენა მხარე უნდა იყოს არაუარყოფითი, შემდეგ გამოიყენე -B≤A≤B.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: [-1/3;3]

x+2≥0 და -(x+2)≤2x-1≤x+2. პირველი ნაწილი იძლევა x≥-1/3-ს, მეორე x≤3-ს.