ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/პროგრესიები
თემა 8 / 1255 წუთი

მიმდევრობები და პროგრესიები

მიმდევრობის წევრი, არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესია, სასრული და უსასრულო ჯამები.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 108-114; ამოცანები: გვ. 299-312

რას ისწავლი

  • n-ური წევრის ფორმულის გამოყენება
  • პროგრესიის ჯამის გამოთვლა
  • ტექსტური პირობის პროგრესიად გარდაქმნა
თეორია

მთავარი წესები

1

მიმდევრობა

მიმდევრობა ნატურალურ ინდექსებზე განსაზღვრული ფუნქციაა. მისი n-ური წევრი aₙ შეიძლება მოცემული იყოს პირდაპირი ფორმულით ან რეკურენტულად, წინა წევრების გამოყენებით.

  • ინდექსი წევრის რიგით ნომერს აღნიშნავს.
  • რეკურენტულ ფორმულას საწყისი წევრი სჭირდება.
  • მონოტონურობა ხშირად aₙ₊₁-aₙ სხვაობით მოწმდება.
2

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკულ პროგრესიაში ყოველი მომდევნო წევრი წინასგან მუდმივი d სხვაობით მიიღება. პირველი n წევრის ჯამი საშუალო არითმეტიკულის პრინციპს იყენებს.

aₙ=a₁+(n-1)dSₙ=n(2a₁+(n-1)d)/2
  • aₙ=a₁+(n-1)d.
  • Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.
  • სამი მიმდევრული წევრისთვის შუა წევრი მეზობლების საშუალოა.
3

გეომეტრიული პროგრესია

გეომეტრიულ პროგრესიაში ყოველი მომდევნო წევრი წინას q მუდმივ რიცხვზე გამრავლებით მიიღება. თუ |q|<1, უსასრულო პროგრესიის წევრები ნულს უახლოვდება და ჯამიც არსებობს.

  • bₙ=b₁qⁿ⁻¹.
  • q≠1-ზე Sₙ=b₁(qⁿ-1)/(q-1).
  • |q|<1-ზე S∞=b₁/(1-q).
ამოხსნილი მაგალითი

არითმეტიკულ პროგრესიაში a₁=5, d=3. იპოვე a₂₀ და S₂₀.

  1. a₂₀=5+19·3=62.
  2. S₂₀=20(5+62)/2.
  3. S₂₀=10·67=670.
პასუხიa₂₀=62, S₂₀=670
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

8.1საბაზისო

იპოვე არითმეტიკული პროგრესიის მე-15 წევრი, თუ a₁=2, d=4.

მინიშნება
aₙ=a₁+(n-1)d.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 58

a₁₅=2+14·4=58.

8.2საშუალო

იპოვე 3, 7, 11, ... პროგრესიის პირველი 25 წევრის ჯამი.

მინიშნება
ჯერ იპოვე a₂₅.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 1275

a₂₅=3+24·4=99; S₂₅=25(3+99)/2=1275.

8.3საბაზისო

გეომეტრიულ პროგრესიაში b₁=3, q=2. იპოვე b₈.

მინიშნება
bₙ=b₁qⁿ⁻¹.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 384

b₈=3·2⁷=384.

8.4საბაზისო

იპოვე 8+4+2+1+... უსასრულო ჯამი.

მინიშნება
b₁=8, q=1/2.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 16

S∞=8/(1-1/2)=16.

8.5საშუალო

არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრია 18, მეცხრე 30. იპოვე პირველი წევრი.

მინიშნება
შეადგინე a₁+4d=18 და a₁+8d=30.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 6

განტოლებების სხვაობით 4d=12, d=3. შემდეგ a₁=18-12=6.

8.6რთული

სამი დადებითი რიცხვი გეომეტრიულ პროგრესიას ქმნის. მათი ნამრავლია 216. იპოვე შუა წევრი.

მინიშნება
წევრები ჩაწერე b/q, b, bq სახით.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 6

ნამრავლი (b/q)·b·bq=b³=216, ამიტომ b=6.