ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/ფუნქციები
თემა 5 / 1270 წუთი

ფუნქციები და გრაფიკები

განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე, მონოტონურობა, ლუწობა, პერიოდულობა და ძირითადი გრაფიკების გარდაქმნა.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 58-80; ამოცანები: გვ. 357-366

რას ისწავლი

  • ფუნქციის ძირითადი მახასიათებლების ამოკითხვა
  • წრფივი და კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის აგება
  • გრაფიკის გარდაქმნების ამოცნობა
თეორია

მთავარი წესები

1

ფუნქციის ენა

ფუნქცია განსაზღვრის არის თითოეულ x-ს ზუსტად ერთ y მნიშვნელობას უსადაგებს. D(f) არის დასაშვები x-ების სიმრავლე, E(f) კი მიღებული y-ების სიმრავლე. ფუნქციის ნული არის x, რომლისთვისაც f(x)=0.

  • გრაფიკზე ფუნქციის მნიშვნელობა შესაბამისი წერტილის y კოორდინატაა.
  • ზრდად შუალედში x-ის ზრდასთან ერთად f(x) იზრდება.
  • f(-x)=f(x) ნიშნავს ლუწ ფუნქციას; f(-x)=-f(x) კენტს.
2

წრფივი და კვადრატული ფუნქცია

y=kx+b წრფეა: k განსაზღვრავს დახრილობას, b კი y ღერძთან გადაკვეთის წერტილს. y=ax²+bx+c პარაბოლაა. მისი მიმართულება a-ს ნიშნით განისაზღვრება, წვეროს აბსცისაა -b/(2a).

xᵥ=-b/(2a)yᵥ=f(xᵥ)D=b²-4ac
  • k>0: წრფე ზრდადია; k<0: კლებადი.
  • პარაბოლის სიმეტრიის ღერძია x=-b/(2a).
  • კვადრატული ფუნქციის ნულები შესაბამისი კვადრატული განტოლების ფესვებია.
3

გრაფიკის გარდაქმნები

f(x)+a გრაფიკს ვერტიკალურად a ერთეულით წევს; f(x-a) მარჯვნივ a ერთეულით გადაადგილებს. -f(x) x ღერძის მიმართ, f(-x) კი y ღერძის მიმართ ასახვაა. |f(x)|-ში ღერძის ქვემოთ მდებარე ნაწილი ზემოთ აირეკლება.

  • შიგნით ცვლილება ჰორიზონტალურია და ნიშანი შებრუნებულად იკითხება.
  • გარეთ ცვლილება ვერტიკალურია.
  • გარდაქმნისას რამდენიმე საკვანძო წერტილი გადაადგილე.
ამოხსნილი მაგალითი

იპოვე y=x²-4x+3 პარაბოლის წვერო და ნულები.

  1. a=1, b=-4, ამიტომ xᵥ=-(-4)/(2·1)=2.
  2. yᵥ=f(2)=4-8+3=-1, ანუ წვეროა (2,-1).
  3. x²-4x+3=(x-1)(x-3), ამიტომ ნულებია 1 და 3.
პასუხიწვერო (2,-1); ნულები x=1 და x=3.
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

5.1საბაზისო

იპოვე f(x)=√(5-x) ფუნქციის განსაზღვრის არე.

მინიშნება
ფესვის ქვეშ გამოსახულება არაუარყოფითია.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (-∞;5]

5-x≥0, ამიტომ x≤5.

5.2საბაზისო

რომელ წერტილში კვეთს y=3x-6 წრფე x ღერძს?

მინიშნება
x ღერძზე y=0.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (2,0)

3x-6=0, ამიტომ x=2.

5.3საბაზისო

იპოვე y=-2x²+8x-5 პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

მინიშნება
გამოიყენე x=-b/(2a).
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x=2

x=-8/(2·(-2))=2.

5.4საშუალო

თუ f(x)=x², რომელი გარდაქმნით მიიღება g(x)=(x-3)²+2?

მინიშნება
შიგნით -3, გარეთ +2.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 3 ერთეულით მარჯვნივ და 2 ერთეულით ზემოთ გადაადგილებით.

f(x-3) ჰორიზონტალურად მარჯვნივ წევს, შემდეგ +2 ვერტიკალურად ზემოთ.

5.5საშუალო

არის თუ არა f(x)=x³-x კენტი?

მინიშნება
გამოთვალე f(-x).
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: დიახ, კენტია.

f(-x)=-x³+x=-(x³-x)=-f(x).

5.6რთული

იპოვე y=x²-6x+5 ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე.

მინიშნება
იპოვე პარაბოლის წვეროს y კოორდინატა და მიმართულება.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: [-4;+∞)

წვეროს x=3 და f(3)=-4. რადგან a=1>0, -4 მინიმუმია.