ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/ტრიგონომეტრია
თემა 9 / 1290 წუთი

ტრიგონომეტრია

რადიანები, ძირითადი ფუნქციები და გრაფიკები, იგივეობები, დაყვანის ფორმულები, განტოლებები და უტოლობები.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 114-144; ამოცანები: გვ. 313-342

რას ისწავლი

  • ერთეულოვან წრეზე მნიშვნელობების პოვნა
  • იგივეობების გამოყენება და გამოსახულების გამარტივება
  • საბაზისო ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
თეორია

მთავარი წესები

1

რადიანული ზომა და ერთეულოვანი წრე

180°=π რადიანი. ერთეულოვან წრეზე კუთხის შესაბამისი წერტილის კოორდინატებია (cos x, sin x). ამიტომ სინუსისა და კოსინუსის მნიშვნელობები [-1,1]-შია და ნიშნები მეოთხედის მიხედვით იცვლება.

  • sin x არის y კოორდინატა, cos x კი x კოორდინატა.
  • tan x=sin x/cos x, როცა cos x≠0.
  • cot x=cos x/sin x, როცა sin x≠0.
2

ძირითადი იგივეობები

ტრიგონომეტრიული გარდაქმნისას ყველაზე საიმედო საწყისი sin²x+cos²x=1 იგივეობაა. ჯამისა და სხვაობის ფორმულებიდან მიიღება ორმაგი და ნახევარი არგუმენტის ფორმულები.

sin²x+cos²x=1sin(a±b)=sin a cos b ± cos a sin bcos(a±b)=cos a cos b ∓ sin a sin bsin 2x=2sin x cos xcos 2x=cos²x-sin²x
  • ფორმულის გამოყენებამდე შეამოწმე ნიშნები.
  • tan-ის შემცველი გამოსახულება ხშირად sin და cos ფუნქციებით გაამარტივე.
  • საბოლოო ტოლობა განსაზღვრის საერთო არეზე უნდა იყოს მართებული.
3

ტრიგონომეტრიული განტოლებები

sin x=a და cos x=a რეალურ ამონახსნებს მხოლოდ |a|≤1-ზე აქვს. პასუხში პერიოდულობა აუცილებლად უნდა აისახოს. კვადრატული ტიპის განტოლებაში ჯერ t=sin x ან t=cos x ჩანაცვლება შეიძლება.

  • sin x=0 ⇒ x=πk.
  • cos x=0 ⇒ x=π/2+πk.
  • tan x=a ⇒ x=arctan a+πk.
  • ყოველ ფორმულაში k∈Z.
ამოხსნილი მაგალითი

ამოხსენი 2sin²x-3sin x+1=0.

  1. ჩავსვათ t=sin x. მივიღებთ 2t²-3t+1=0.
  2. (2t-1)(t-1)=0, ამიტომ t=1/2 ან t=1.
  3. sin x=1/2 ⇒ x=π/6+2πk ან x=5π/6+2πk.
  4. sin x=1 ⇒ x=π/2+2πk.
პასუხიx=π/6+2πk, 5π/6+2πk ან π/2+2πk; k∈Z.
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

9.1საბაზისო

გადაიყვანე 150° რადიანებში.

მინიშნება
გაამრავლე π/180-ზე.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 5π/6

150·π/180=5π/6.

9.2საბაზისო

გამოთვალე sin(π/6)+cos(π/3).

მინიშნება
ორივე მნიშვნელობა 1/2-ია.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 1

1/2+1/2=1.

9.3საბაზისო

გაამარტივე (1-cos²x)/sin x, სადაც sin x≠0.

მინიშნება
1-cos²x=sin²x.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: sin x

sin²x/sin x=sin x.

9.4საბაზისო

ამოხსენი cos x=0.

მინიშნება
ერთეულოვან წრეზე x კოორდინატა ნულია ზედა და ქვედა წერტილებში.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x=π/2+πk, k∈Z

კოსინუსი ნულდება ყოველ π პერიოდით, საწყისი მნიშვნელობა π/2-ია.

9.5საშუალო

ამოხსენი 2cos x-√3=0.

მინიშნება
cos x=√3/2.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x=2πk±π/6, k∈Z

ერთეულოვან წრეზე კოსინუსი √3/2 არის ±π/6 მიმართულებებზე.

9.6რთული

თუ sin x+cos x=1/2, იპოვე sin 2x.

მინიშნება
ორივე მხარე კვადრატში აიყვანე.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: -3/4

(sin x+cos x)²=1+2sin x cos x=1+sin 2x=1/4, ამიტომ sin 2x=-3/4.