ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/განტოლებები
თემა 6 / 1275 წუთი

განტოლებები და სისტემები

წრფივი, კვადრატული, ბიკვადრატული, რაციონალური და ირაციონალური განტოლებები და სისტემები.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 80-96; ამოცანები: გვ. 217-236

რას ისწავლი

  • განტოლების ტიპის ამოცნობა და შესაბამისი მეთოდის არჩევა
  • უცხო ფესვების შემოწმება
  • ორი ცვლადის სისტემების ამოხსნა
თეორია

მთავარი წესები

1

ეკვივალენტური გარდაქმნები

განტოლების ორივე მხარეს ერთი და იმავე გამოსახულების დამატება ან ნულოვანი რიცხვით გამრავლება ფესვებს არ ცვლის. ცვლადის შემცველ გამოსახულებაზე გაყოფა მხოლოდ მისი ნულოვანობის ცალკე შემოწმების შემდეგ შეიძლება.

  • გარდაქმნამდე დაწერე დასაშვები მნიშვნელობები.
  • კვადრატში აყვანამ შეიძლება უცხო ფესვი წარმოქმნას.
  • საბოლოო პასუხი საწყის განტოლებაში გადაამოწმე.
2

კვადრატული განტოლება

ax²+bx+c=0, a≠0 განტოლების ფესვების რაოდენობა დისკრიმინანტის ნიშნით განისაზღვრება. D>0-ზე ორი სხვადასხვა რეალური ფესვია, D=0-ზე ერთი ორმაგი ფესვი, D<0-ზე რეალური ფესვი არ არსებობს.

D=b²-4acx₁,₂=(-b±√D)/(2a)
  • ვიეტის ფორმულები: x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a.
  • ფესვების ცოდნით სამწევრი იშლება a(x-x₁)(x-x₂)-დ.
  • ბიკვადრატულში t=x² ჩანაცვლება გამოიყენე.
3

სისტემები და ირაციონალური განტოლებები

წრფივ სისტემაში გამოიყენება ჩანაცვლება ან შეკრება. არაწრფივ სისტემაში ხშირად სასარგებლოა სიმეტრიული გამოსახულებები, მაგალითად x+y და xy. ფესვის შემცველ განტოლებაში ჯერ ფესვი ცალკე დატოვე, შემდეგ ხარისხში აიყვანე და გადაამოწმე.

  • სისტემის პასუხი დალაგებული წყვილია.
  • ორი განტოლების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები სისტემის ამონახსნებია.
  • √A=B მოითხოვს A≥0 და B≥0 პირობებს.
ამოხსნილი მაგალითი

ამოხსენი √(x+5)=x-1.

  1. მარჯვენა მხარე არაუარყოფითი უნდა იყოს: x≥1.
  2. ავიყვანოთ კვადრატში: x+5=(x-1)²=x²-2x+1.
  3. მივიღეთ x²-3x-4=0, ანუ (x-4)(x+1)=0.
  4. პირობას x≥1 მხოლოდ x=4 აკმაყოფილებს; შემოწმებაც სწორია.
პასუხიx=4
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

6.1საბაზისო

ამოხსენი 5x-7=3x+9.

მინიშნება
x-ები ერთ მხარეს გადაიტანე.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x=8

2x=16, ამიტომ x=8.

6.2საბაზისო

ამოხსენი x²-5x+6=0.

მინიშნება
დაშალე მამრავლებად.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x=2 ან x=3

(x-2)(x-3)=0.

6.3საშუალო

ამოხსენი x⁴-5x²+4=0.

მინიშნება
ჩასვი t=x².
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x∈{-2,-1,1,2}

t²-5t+4=0, ამიტომ t=1 ან 4. აქედან x=±1 ან ±2.

6.4საშუალო

ამოხსენი 1/(x-1)=2/(x+2).

მინიშნება
ჯერ x≠1,-2.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: x=4

x+2=2x-2, ამიტომ x=4, რაც დასაშვებია.

6.5საბაზისო

ამოხსენი სისტემა: x+y=7, x-y=1.

მინიშნება
შეკრიბე განტოლებები.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (x,y)=(4,3)

2x=8, x=4; შემდეგ y=3.

6.6რთული

ამოხსენი სისტემა: x+y=5, xy=6.

მინიშნება
x და y იმ კვადრატული განტოლების ფესვებია, რომლის ჯამია 5 და ნამრავლი 6.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: (2,3) და (3,2)

t²-5t+6=0-ს ფესვებია 2 და 3. x,y ამ ორ მნიშვნელობას ადგილებს უცვლის.