მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციები
მაჩვენებლიანი ზრდა, ლოგარითმის განსაზღვრება და თვისებები, განტოლებები, სისტემები და უტოლობები.
რას ისწავლი
- ლოგარითმის დასაშვები პირობების დაწერა
- ლოგარითმული თვისებების გამოყენება
- მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა
მთავარი წესები
მაჩვენებლიანი ფუნქცია
y=aˣ ფუნქციაში საჭიროა a>0 და a≠1. თუ a>1, ფუნქცია ზრდადია; თუ 0<a<1, კლებადია. მისი მნიშვნელობები ყოველთვის დადებითია და გრაფიკი (0,1) წერტილზე გადის.
- aˣ>0 ყველა რეალური x-სთვის.
- aˣ=aʸ და a≠1 ⇒ x=y.
- უტოლობაში 0<a<1 ფუძისას მაჩვენებლებს შორის ნიშანი შებრუნდება.
ლოგარითმის განსაზღვრება
logₐb არის ხარისხის მაჩვენებელი, რომელშიც a უნდა ავიყვანოთ b-ს მისაღებად. აუცილებელია a>0, a≠1 და b>0. ლოგარითმი მაჩვენებლიანი ფუნქციის შექცეული ოპერაციაა.
logₐ(xy)=logₐx+logₐylogₐ(x/y)=logₐx-logₐylogₐ(xᵏ)=k logₐxlogₐb=log_cb/log_ca- logₐ1=0 და logₐa=1.
- a^(logₐb)=b.
- logₐ(aˣ)=x.
განტოლებები და უტოლობები
ერთი ფუძის მაჩვენებლიან განტოლებაში მაჩვენებლები შევადაროთ. ლოგარითმულ განტოლებაში ჯერ ყველა არგუმენტის დადებითობა დაწერე. ლოგარითმულ უტოლობაში ფუძე 1-ზე მეტია თუ 0-სა და 1-ს შორის, ამას ნიშნის მიმართულებისთვის გადამწყვეტი მნიშვნელობა აქვს.
- ლოგარითმების გაერთიანებისას დასაშვები არე არ დაკარგო.
- ფუძის შეცვლა ხშირად ერთ საერთო ფუძეზე გადაყვანით კეთდება.
- პასუხი ყოველთვის საწყის პირობებთან შეამოწმე.
ამოხსენი log₂(x-1)+log₂(x-3)=3.
- პირობა: x>3.
- ლოგარითმები გავაერთიანოთ: log₂((x-1)(x-3))=3.
- (x-1)(x-3)=2³=8.
- x²-4x-5=0, ამიტომ x=5 ან x=-1.
- პირობას მხოლოდ x=5 აკმაყოფილებს.
სავარჯიშოები
ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.
გამოთვალე log₂32.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
2⁵=32, ამიტომ log₂32=5.
ამოხსენი 3^(x+1)=27.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
x+1=3, ამიტომ x=2.
გაამარტივე log₅25 + log₅(1/5).
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
2+(-1)=1.
ამოხსენი log₃(x+2)=2.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
x+2=3²=9, ამიტომ x=7.
ამოხსენი 4ˣ-5·2ˣ+4=0.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
t²-5t+4=0, t=1 ან 4. შესაბამისად 2ˣ=1 ან 4.
ამოხსენი log₁/₂(x-1)>-1.
მინიშნება
პასუხი და ამოხსნა
პირობა x>1. log₁/₂(x-1)>log₁/₂2 ნიშნავს x-1<2, ანუ x<3.