ისწავლე თამაშით
ჩემი სივრცე
მთავარი/აბიტურიენტებისთვის/წილადები და პროცენტები
თემა 2 / 1260 წუთი

გაყოფადობა, წილადები და პროცენტები

გაყოფადობის ნიშნები, უსგ და უსჯ, ჩვეულებრივი წილადები, პროპორცია და პროცენტული ცვლილება.

წიგნის თემატური მითითება: თეორია: გვ. 10-39; ამოცანები: გვ. 176-193

რას ისწავლი

  • მარტივ მამრავლებად დაშლა და უსგ/უსჯ-ის პოვნა
  • წილადებზე მოქმედებების უშეცდომოდ შესრულება
  • პროპორციისა და პროცენტის გამოყენება პრაქტიკულ ამოცანებში
თეორია

მთავარი წესები

1

გაყოფადობა და მარტივი მამრავლები

თუ a = bk რომელიმე მთელი k-სთვის, მაშინ a იყოფა b-ზე. 1-ზე მეტი მარტივი რიცხვი მხოლოდ 1-სა და საკუთარ თავზე იყოფა. შედგენილი რიცხვის მარტივ მამრავლებად დაშლა უსგ-ისა და უსჯ-ის სწრაფად პოვნის საშუალებას გვაძლევს.

  • უსგ-ში თითოეული საერთო მარტივი მამრავლის უმცირესი ხარისხი შედის.
  • უსჯ-ში ყველა მარტივი მამრავლის უდიდესი ხარისხი შედის.
  • ორი დადებითი რიცხვისთვის უსგ(a,b) · უსჯ(a,b) = ab.
2

წილადები და პროპორცია

წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება, თუ მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთსა და იმავე ნულოვან რიცხვზე გავამრავლებთ ან გავყოფთ. პროპორცია a/b = c/d მართებულია ზუსტად მაშინ, როცა ad = bc და b,d ≠ 0.

  • ჯამისთვის და სხვაობისთვის საჭიროა საერთო მნიშვნელი.
  • გაყოფისას ვამრავლებთ მეორე წილადის შებრუნებულზე.
  • გამოთვლისას ჯერ შეამოკლე საერთო მამრავლები.
3

პროცენტი და ცვლილება

p% ნიშნავს p/100 ნაწილს. თუ საწყისი რაოდენობა A არის და ის p%-ით იზრდება, ახალი მნიშვნელობა A(1+p/100)-ია; შემცირებისას A(1-p/100). თანმიმდევრული პროცენტული ცვლილებები იკრიბება არა პროცენტებით, არამედ შესაბამისი კოეფიციენტების გამრავლებით.

  • A-ს p% არის A·p/100.
  • პროცენტული ცვლილება: (ახალი-საწყისი)/საწყისი · 100%.
  • +20% და შემდეგ -20% საწყის მნიშვნელობას არ აბრუნებს.
ამოხსნილი მაგალითი

ფასი ჯერ 20%-ით გაიზარდა, შემდეგ ახალი ფასი 15%-ით შემცირდა. რამდენი პროცენტით შეიცვალა საწყისი ფასი?

  1. საწყისი ფასი ავიღოთ 100.
  2. ზრდის შემდეგ მივიღებთ 100·1.20 = 120.
  3. შემცირების შემდეგ: 120·0.85 = 102.
  4. 102 საწყის 100-ზე 2%-ით მეტია.
პასუხიფასი 2%-ით გაიზარდა.
ივარჯიშე

სავარჯიშოები

ჯერ ამოხსენი დამოუკიდებლად, შემდეგ გახსენი პასუხი.

2.1საბაზისო

იპოვე უსგ(84, 126).

მინიშნება
დაშალე ორივე რიცხვი მარტივ მამრავლებად.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 42

84=2²·3·7, 126=2·3²·7. საერთო უმცირესი ხარისხებია 2·3·7=42.

2.2საბაზისო

იპოვე უსჯ(18, 30).

მინიშნება
აიღე ყველა მარტივი მამრავლის უდიდესი ხარისხი.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 90

18=2·3², 30=2·3·5, ამიტომ უსჯ=2·3²·5=90.

2.3საბაზისო

გამოთვალე 3/4 - 5/12 + 1/6.

მინიშნება
საერთო მნიშვნელია 12.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 1/2

9/12-5/12+2/12=6/12=1/2.

2.4საბაზისო

თუ x/15 = 14/21, იპოვე x.

მინიშნება
გამოიყენე ჯვარედინი ნამრავლი.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 10

21x=15·14=210, ამიტომ x=10.

2.5საშუალო

საქონელი 25%-იანი ფასდაკლების შემდეგ 180 ლარი ღირს. რა იყო საწყისი ფასი?

მინიშნება
180 საწყისი ფასის 75%-ია.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 240 ლარი

0.75x=180, აქედან x=180/0.75=240.

2.6საშუალო

რიცხვის 30% მისივე 20%-ზე 18-ით მეტია. იპოვე რიცხვი.

მინიშნება
შეადგინე 0.30x-0.20x=18.
პასუხი და ამოხსნა
პასუხი: 180

0.10x=18, ამიტომ x=180.